Η συμβίωση Φυσικής και Μαθηματικών. Πώς ο διάσημος έλληνας μαθηματικός Κωνσταντίνος Καραθεοδωρής ανίχνευσε τα όρια των δύο επιστημών.

 

2 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 1950: ΠΕΘΑΙΝΕΙ ΣΤΟ ΜΟΝΑΧΟ Ο ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΤΟΥ 20ού ΑΙΩΝΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΑΡΑΘΕΟΔΩΡΗ.

 

 Ο ΑΪΝΣΤΑΪΝ ΕΚΛΕΨΕ ΤΟΝ ΤΥΠΟ Ε=Μ.C² ΑΠΟ ΤΟΝ ΑΥΣΤΡΙΑΚΟ ΦΥΣΙΚΟ ΦΡΙΤΣ ΧΑΖΕΝΕΡΛ (Fritz Hasenöhrl). 

 

Το ΒΗΜΑ, 17/12/2000   Κ. ΒΑΓΙΟΝΑΚΗΣ   Ο κ. Κωνσταντίνος Βαγιονάκης είναι καθηγητής Θεωρητικής Φυσικής στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων.

Συμπληρώνονται εφέτος 50 χρόνια από τον θάνατο του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή (1873-1950), ενός σημαντικού θετικού επιστήμονα παγκόσμιου διαμετρήματος και ενός φωτισμένου Έλληνα της διασποράς. Ο Καραθεοδωρής τίμησε πράγματι την Ελλάδα με το επιστημονικό του έργο, κλήθηκε από τον Ελευθέριο Βενιζέλο να προσφέρει στην πανεπιστημιακή οργάνωση και εκπαίδευση της πατρίδας του, ανταποκρίθηκε με θέρμη, πάλεψε όσο μπορούσε, αλλά στάθηκε άτυχος πέφτοντας πάνω σε μια ταραγμένη εποχή (Μικρασιατική Καταστροφή), δοκιμάζοντας ταυτόχρονα τη μοίρα που θέλει πολλές φορές την Ελλάδα να πληγώνει μερικά ξεχωριστά παιδιά της. Για τη ζωή και το έργο του Καραθεοδωρή έχουν υπάρξει τελευταία κάποια επετειακά αφιερώματα. Εμείς εδώ θα περιοριστούμε στο επιστημονικό μέρος του έργου του Καραθεοδωρή και, ειδικότερα, στο έργο του στη Φυσική σε σχέση με το μαθηματικό «πρόγραμμα» που ακολούθησε. Αποτελεί μια πρώτης τάξεως ευκαιρία αφενός μεν για μια δίκαιη αποτίμηση και αναγκαία αποκατάσταση κάποιων ιστορικών αληθειών, αφετέρου δε για μια σκιαγράφηση των άλλες φορές ευδιάκριτων και άλλες φορές δυσδιάκριτων ορίων που υπάρχουν στη στενή αλληλεξάρτηση Φυσικής και Μαθηματικών.

  

Παρακολουθώντας κανείς τη ζωή και το έργο του Καραθεοδωρή θα διαπιστώσει για άλλη μία φορά αυτό που συνήθως λέγεται: αν η μισή οφειλή στην πορεία που ακολουθούμε έχει να κάνει με την κλίση μας (σήμερα θα λέγαμε με τα γονίδια μας), η άλλη μισή έχει να κάνει με το περιβάλλον μας και τις επιρροές του. Ετσι δεν είναι ίσως τυχαίο που ο Καραθεοδωρής, όταν μετέβη το 1900 στο Βερολίνο για να σπουδάσει μαθηματικά, εκτός από τους μαθηματικούς καθηγητές του Frobenius, Schwarz και Schmidt, παρακολούθησε μαθήματα φυσικής από τον μεγάλο φυσικό Max Planck. Το έργο του στη θερμοδυναμική δεν πρέπει να είναι άσχετο με αυτή την επαφή. Ο ίδιος ο Planck τον υποδέχθηκε με έναν εμπνευσμένο λόγο το 1919, όταν ο Καραθεοδωρής έγινε μέλος της Πρωσικής Ακαδημίας Επιστημών.

Στη συνέχεια μετέβη το 1902 στο Gottingen, το μεγαλύτερο ερευνητικό κέντρο την εποχή εκείνη στα μαθηματικά. Εκεί είχε καθηγητές τους κορυφαίους μαθηματικούς David Hilbert και Felix Klein, αλλά και τον Hermann Minkowski, ο οποίος υπήρξε καθηγητής των μαθηματικών και του Albert Einstein, όταν ο τελευταίος ήταν σπουδαστής στη Ζυρίχη, και στον οποίον οφείλεται η γεωμετρία του τετραδιάστατου χωροχρόνου της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας (Einstein, 1905), όπως την παρουσίασε το 1908, έναν χρόνο πριν από τον θάνατό του. Οι εργασίες τόσο της διδακτορικής διατριβής του το 1904 όσο και της υφηγεσίας του το 1905 αφορούσαν τον λογισμό των μεταβολών, ένα από τα αγαπημένα του θέματα σε όλη τη διάρκεια της επιστημονικής καριέρας του. Το έργο του αργότερα στη γεωμετρική οπτική ήταν εφαρμογή του λογισμού των μεταβολών.

Στο Gottingen παρέμεινε ως το 1908 και επανήλθε ως καθηγητής το 1913, για να διαδεχθεί τον Klein και να παραμείνει εκεί ως το 1918. Από την περίοδο αυτή χρονολογείται η γνωριμία του με τον Einstein, ο οποίος επισκέπτεται έπειτα από πρόσκληση του Hilbert το Gottingen το 1915 για σειρά διαλέξεων πάνω στην κυοφορούμενη την εποχή εκείνη θεωρία του για τη βαρύτητα, τη γενική θεωρία της σχετικότητας. Τα χρόνια στο Gottingen πριν και μετά στάθηκαν η αφορμή του ενδιαφέροντος του Καραθεοδωρή για τη θεωρία της σχετικότητας και για τη μοναδική εργασία του μετέπειτα (1924) πάνω στην ειδική θεωρία της σχετικότητας. Με τον Einstein διατήρησαν αδιατάρακτη και βαθιά αλληλεκτίμηση ως το τέλος.

Η «αξιωματική μέθοδος»

Το έργο του Καραθεοδωρή στις παραπάνω περιοχές της φυσικής ακολουθεί μια συγκεκριμένη γενική κατεύθυνση και φιλοσοφία. Αυτή δεν είναι άλλη από την «αξιωματική μέθοδο». Από την άποψη αυτή ακολουθεί ένα ολόκληρο ερευνητικό πρόγραμμα, αυτό της φορμαλιστικής σχολής των μαθηματικών, οι αρχές του οποίου τέθηκαν από τον δάσκαλό του Hilbert το 1900 κατά τη διάρκεια του Διεθνούς Συνεδρίου των Μαθηματικών στο Παρίσι. Ο Hilbert διατύπωσε τότε 23 προβλήματα μελλοντικής μαθηματικής έρευνας. Πολλά από τα προβλήματα του Hilbert παραμένουν άλυτα ως σήμερα.

Το έκτο από τα 23 προβλήματα προέτρεπε τη διαπραγμάτευση μέσω αξιωμάτων εκείνων των φυσικών θεωριών στις οποίες ήδη τα μαθηματικά έπαιζαν σημαντικό ρόλο. Αρχετυπικό παράδειγμα η ευκλείδεια γεωμετρία, της οποίας τα αξιώματα αποτελούν αφαιρέσεις που ξεκινούν από την παρατήρηση του πραγματικού κόσμου. Απώτερη φιλοδοξία να μετατραπεί η φυσική σε μαθηματική επιστήμη.

Ο κύριος σκοπός μιας μαθηματικής έρευνας ήταν να δείξει ότι ένα ορισμένο σύνολο αξιωμάτων είναι αυτοσυνεπές. Το δέκατο πρόβλημα του Hilbert συνίστατο στο να εγκαθιδρύσει μια για πάντα τη βεβαιότητα των μαθηματικών μεθόδων με το να βρει ένα σύνολο κανόνων ικανών να χαρακτηρίσουν κάθε μαθηματική πρόταση αληθή ή ψευδή.

Η έννοια της εντροπίας

Η πρώτη χρονολογικά εργασία του Καραθεοδωρή στη φυσική, και η σπουδαιότερη, ήταν το 1909, πάνω στα θεμέλια της θερμοδυναμικής. Δημοσιεύτηκε στο μαθηματικό περιοδικό Mathematische Annalen με τίτλο «Ερευνα πάνω στις βάσεις της θερμοδυναμικής». Εδώ εγκαινιάζει την αξιωματική μέθοδο, αλλά με ένα ιδιαίτερα προσεκτικό τρόπο που δείχνει την οξυδέρκειά του. Προσέχει ώστε οι αξιωματικές βάσεις της διαπραγμάτευσής του «να είναι ελεύθερες από οποιαδήποτε υπόθεση που δεν υπόκειται σε πειραματική επιβεβαίωση». Ετσι, έπειτα από μια σειρά ορισμών, εισάγει το γνωστό ως «αξίωμα Καραθεοδωρή»: «Στην περιοχή κάθε κατάστασης ισορροπίας ενός συστήματος, υπάρχουν μερικές απείρως γειτονικές καταστάσεις στις οποίες δεν μπορούμε να φθάσουμε με αντιστρεπτές αδιαβατικές μεταβολές». Με βάση αυτό έδειξε στη συνέχεια με έναν κομψό αλλά πολύπλοκο μαθηματικό φορμαλισμό πώς προκύπτει η έννοια της εντροπίας, ώστε οι μεταβολές της να μην εξαρτώνται από τις ενδιάμεσες καταστάσεις αλλά από μόνο από την αρχική και την τελική κατάσταση του συστήματος. Απέφυγε με αυτόν τον τρόπο να χρησιμοποιήσει θερμοδυναμικούς κύκλους (όπως ο κύκλος Carnot), που είναι η συνήθης μέθοδος προσέγγισης στην έννοια της εντροπίας και στον δεύτερο νόμο της θερμοδυναμικής περί αύξησής της σε θερμικά απομονωμένα συστήματα. Θα πρέπει να πούμε ότι πολύ αργότερα (γύρω στα 1960) στάθηκε δυνατόν να απλοποιηθεί ο μαθηματικός φορμαλισμός του Καραθεοδωρή και να δειχθεί ότι όλες οι συνέπειες που προέρχονται από το «αξίωμα Καραθεοδωρή» προκύπτουν κατευθείαν από τη γνωστή εμπειρική διατύπωση Kelvin-Planck του δεύτερου νόμου.

Ο Einstein είχε πει στις αυτοβιογραφικές του σημειώσεις για τη θερμοδυναμική: «Είναι η μόνη φυσική θεωρία με τέτοιο οικουμενικό περιεχόμενο που είμαι πεπεισμένος ότι, μέσα στο πλαίσιο εφαρμοσιμότητας των βασικών εννοιών της, δεν πρόκειται ποτέ να ανατραπεί». Με αυτή την έννοια ο γενικός εναλλακτικός τρόπος διαπραγμάτευσης της θερμοδυναμικής που εισήγαγε ο Καραθεοδωρής θα παραμείνει και το διαρκέστερο έργο του.

Η θεωρία της σχετικότητας

Η εργασία του Καραθεοδωρή στην ειδική θεωρία της σχετικότητας δημοσιεύτηκε το 1924 στα πρακτικά της Πρωσικής Ακαδημίας Επιστημών με τίτλο «Σχετικά με την αξιωματική της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας». Οπως προδίδει και ο τίτλος της, η εργασία αυτή ακολουθεί ακριβώς το πρόγραμμα της «αξιωματικής μεθόδου» με το χαρακτηριστικό στυλ του Καραθεοδωρή. Βασίζει λοιπόν τη διαπραγμάτευσή του σε ορισμένα αξιώματα, απλές λογικοφανείς προτάσεις με εμπειρικό υπόβαθρο. Ετσι ξεκινά με προτάσεις όπως:

«Στο ίδιο σημείο του κόσμου δύο γεγονότα α και β είναι ή σύγχρονα ή το α προηγείται του β ή το β τού α και διάφορα γεγονότα αποτελούν σειρά». Ακόμη: «Αν είναι Ρ και Q δύο υλικά σημεία, σε κάθε φωτεινό σήμα α, που ξεκινά από το Ρ, αντιστοιχεί ένα φωτεινό σήμα β, που φθάνει στο Q. Αν ένα άλλο φωτεινό σήμα ξεκινήσει αργότερα του α από το Ρ, θα φθάσει επίσης αργότερα του β στο Q».

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το αρνητικό αποτέλεσμα του γνωστού πειράματος Michelson - Morley (1887) ­ η ταχύτητα του φωτός δεν εξαρτάται από την κίνηση του παρατηρητή ­, ο Καραθεοδωρής κατέληγε σε μια εξίσωση που λίγες μόνο ειδικές περιπτώσεις συναρτήσεων μετασχηματισμού επαλήθευαν. Μια από αυτές ήταν και οι γνωστοί μετασχηματισμοί Lorentz της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας.

Ο Einstein, ο οποίος στην αρχή αμφέβαλλε αν ένα τέτοιο πρόγραμμα μπορεί να οδηγήσει στους μετασχηματισμούς της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, δήλωσε τελικά εντυπωσιασμένος από την κατάληξη του Καραθεοδωρή.

Η αρχή της «ελάχιστης δράσης»

Ο λογισμός των μεταβολών ήταν το κύριο πεδίο της μαθηματικής έρευνας του Καραθεοδωρή. Στη φυσική συνδέεται με αυτό που λέμε «πρόβλημα βελτιστοποίησης», γιατί δηλαδή οι φυσικές διαδικασίες φαίνεται να συμβαίνουν με τέτοιον τρόπο ούτως ώστε ορισμένες ποσότητες να παίρνουν μια «βέλτιστη» τιμή (ελάχιστη ή μέγιστη). Η γεωμετρική οπτική αποτελεί τυπικό παράδειγμα, μια και η ευθύγραμμη διάδοση μιας φωτεινής ακτίνας και οι νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης βασίζονται στην αρχή των Ηρωνος - Fermat, την αρχή δηλαδή του ελάχιστου χρόνου στη διάδοση του φωτός μεταξύ δύο σημείων. Ετσι ο Καραθεοδωρής δημοσιεύει μια σειρά εργασιών μεταξύ 1926 και 1943 σχετικά με τα οπτικά όργανα, τα σφάλματά τους, τις απεικονίσεις της γεωμετρικής οπτικής και τη διερεύνηση κατοπτρικών τηλεσκοπίων. Ενδιάμεσα εκδίδεται ένα αρκετά πυκνό και δύσκολο βιβλίο του για τη Γεωμετρική Οπτική.

Η πραγματικά μεγάλη πάντως αρχή της φυσικής στο πλαίσιο του λογισμού των μεταβολών και της βελτιστοποίησης που συζητάμε, και η οποία έπαιξε καθοριστικό ρόλο ως σήμερα στην ανάπτυξη των φυσικών θεωριών, είναι η αρχή της «ελάχιστης δράσης». Η ουσία της έγκειται στο ότι οποιοδήποτε μηχανικό σύστημα, μεταβαίνοντας από μία κατάσταση σε μια χρονική στιγμή σε μια άλλη κατάσταση σε μια άλλη χρονική στιγμή, θα ελαχιστοποιήσει τη «δράση» του, μια ορισμένη ποσότητα που σχηματίζεται από τις παραμέτρους του συστήματος. Οι προκύπτουσες εξισώσεις κίνησης παίρνουν κάθε φορά μια μορφή που εξαρτάται από την υπό εξέταση θεωρία. Ο Καραθεοδωρής ήταν βαθύς γνώστης του λογισμού των μεταβολών και των σχετικών μαθηματικών προβλημάτων. Πάνω σε τέτοια τεχνικά θέματα αναφορικά με τη γενική θεωρία της σχετικότητας ήταν και το περιεχόμενο των επιστολών που αντάλλαξε με τον Einstein γύρω στο 1916.

Ας περάσουμε λοιπόν να διευκρινίσουμε λίγα πράγματα γύρω από τη γενική θεωρία της σχετικότητας που έχουν καταγραφεί στην ιστορία και έχουν έμμεση σχέση με τον Καραθεοδωρή. Ο Einstein ξεκίνησε το 1907 τον μακρύ δρόμο, ο οποίος οκτώ χρόνια αργότερα κατέληξε στη γενική σχετικότητα, όταν συνέλαβε αυτό που ο ίδιος χαρακτήρισε την «ευτυχέστερη σκέψη» της ζωής του: τη μη διακρισιμότητα των φαινομένων επιτάχυνσης από τα φαινόμενα ενός πεδίου βαρύτητας («αρχή της ισοδυναμίας»). Η πορεία ήταν επίπονη και αγωνιώδης ως την τελική διατύπωση των εξισώσεων του πεδίου της γενικής σχετικότητας που φέρουν το όνομά του. Αν και κανένα σοβαρό επιχείρημα δεν διατυπώθηκε ποτέ που να αμφισβητεί την ανεξαρτησία του Einstein στην παραγωγή των εξισώσεών του, είναι γνωστή μια παράλληλη έρευνα του Hilbert το κρίσιμο ιδιαίτερα τελικό διάστημα ανάμεσα στο καλοκαίρι και στο φθινόπωρο του 1915.

Αναφέραμε ήδη ότι οι βασικές εξισώσεις μιας φυσικής θεωρίας προκύπτουν από την αρχή της ελάχιστης δράσης ως αποτέλεσμα του λογισμού των μεταβολών. Η αλήθεια είναι ότι ο Hilbert, βαθύς γνώστης και αυτός του λογισμού των μεταβολών αλλά και των μαθηματικών λεπτοτήτων των γενικευμένων καμπύλων χώρων στους οποίους οδηγούσαν οι έρευνες της γενικής σχετικότητας, αντιλήφθηκε αμέσως τη σημασία της ανολοκλήρωτης ακόμη το 1914 θεωρίας του Einstein για τη βαρύτητα και ξεκίνησε και αυτός την προσπάθεια παραγωγής εξισώσεων του πεδίου από μια αρχή ελάχιστης δράσης. Το πρόγραμμά τους βέβαια δεν ήταν με κανέναν τρόπο ταυτόσημο. Οπως και με την ειδική θεωρία της σχετικότητας, πίσω από το πρόγραμμα του Einstein ήταν η αρχή της ισοδυναμίας και, αναπόδραστα, η αρχή συμμετρίας για το αναλλοίωτο των νόμων της φύσης σε όλα τα συστήματα αναφοράς («γενικό συναλλοίωτο»).

Ο Hilbert προσπάθησε να φέρει τον Einstein στο Gottingen για να μάθει από πρώτο χέρι για τη θεωρία του. Το πέτυχε το καλοκαίρι του 1915, όταν ο Einstein την πρώτη εβδομάδα του Ιουλίου έδωσε μια σειρά έξι διαλέξεων πάνω στη γενική θεωρία της σχετικότητας. Ανάμεσα στα μέσα Ιουλίου και στα τέλη Νοεμβρίου του ίδιου έτους υπήρξε μια ανταλλαγή επιστολών μεταξύ των δύο ανδρών και, σε κάποιες στιγμές, μια σχετική ένταση. Ο σκοπός ήταν να διατυπωθούν εξισώσεις του πεδίου γενικά συναλλοίωτες, που να προκύπτουν από μια αρχή ελάχιστης δράσης. Η κατάληξη ήταν ότι ο Hilbert παρουσίασε την τελική εργασία του στις 20 Νοεμβρίου 1915 στην Ακαδημία Επιστημών του Gottingen πέντε ημέρες προτού ο Einstein παρουσιάσει τη δική του τελική μορφή των εξισώσεων του πεδίου στις 25 Νοεμβρίου 1915 στην Πρωσική Ακαδημία Επιστημών του Βερολίνου.

Οι εξισώσεις πεδίου του Hilbert ήταν βασικά όμοιες με εκείνες του Einstein. Από αυτό μερικοί σχολιαστές είχαν πρόχειρα υποθέσει ότι ο Einstein είχε επωφεληθεί από την εργασία του Hilbert για να δώσει την τελική μορφή στις δικές του εξισώσεις πεδίου της γενικής σχετικότητας. Η υπόθεση αυτή μπορεί πλέον οριστικά να αντικρουστεί. Οπως κατέθεσαν τρεις ιστορικοί της επιστήμης σε άρθρο τους στο περιοδικό «Science» το 1997, η πρώτη μορφή των τυπογραφικών διορθώσεων της εργασίας του Hilbert, που φέρει σφραγίδα 6 Δεκεμβρίου 1915, δείχνει ουσιαστικές διαφορές του αρχικού με το δημοσιευμένο κείμενο της εργασίας. Αλλωστε αμέσως μετά την εποχή εκείνη η προτεραιότητα και η ανεξαρτησία της ανακάλυψης του Einstein δεν υπήρξε ποτέ σημείο αμφισβήτησης μεταξύ τους. Ο Hilbert απέδωσε την εννοιολογική πατρότητα της θεωρίας στον Einstein, ο δε Einstein παραδέχθηκε τη συνεισφορά του Hilbert στην αποσαφήνιση της παραγωγής των εξισώσεων του πεδίου από μια αρχή μεταβολών. Από τότε ως σήμερα στη βιβλιογραφία η μεν δράση της γενικής σχετικότητας φέρει το όνομα των Einstein - Hilbert, οι δε εξισώσεις του πεδίου και η όλη θεωρία δίκαια το όνομα του Einstein.

Επάλληλες επιστήμες

Πρέπει να έχει γίνει φανερό, με αφορμή την ιστορική αναδρομή που επιχειρήθηκε για τον σπουδαίο Καραθεοδωρή, ποια είναι τα όρια στην εφαρμογή ενός ερευνητικού προγράμματος που στηρίζεται στην «αξιωματική μέθοδο», σε ό,τι αφορά τουλάχιστον τη φυσική. Μπορεί να οδήγησε σε έναν γενικό τρόπο απόδειξης σχέσεων και σε μια αποσαφήνιση παραγωγής εξισώσεων. Το σχετικό οπλοστάσιο όμως εμφανίστηκε μόνο ως ένα μαθηματικό εργαλείο για την εκμετάλλευση βαθύτερων φυσικών αρχών και όχι ως μια θεμελιώδης βάση για τις φυσικές θεωρίες. Ετσι είναι οι βαθύτερες φυσικές αρχές συμμετρίας της θεωρίας της σχετικότητας (ειδικής και γενικής) που αποτέλεσαν το σημείο εκκίνησης και το παράδειγμα (όχι με την επιστημολογική έννοια του Τ. Kuhn) για την αναζήτηση παρόμοιων αρχών συμμετρίας, που οδήγησαν εξελικτικά στη διατύπωση θεωριών για όλες τις αλληλεπιδράσεις της φύσης.

Πέρα από αυτό η ιστορία επεφύλασσε ένα άλλο δραματικό κτύπημα στο φορμαλιστικό πρόγραμμα του Hilbert. Το 1931 ο Κ. Godel σόκαρε τον μαθηματικό και φιλοσοφικό κόσμο δείχνοντας ότι ο στόχος του δέκατου προβλήματος του Hilbert ήταν ανέφικτος. Το περίφημο θεώρημα μη πληρότητας του Godel έδειξε ότι μέσα σε ένα αξιωματικό σύστημα υπάρχουν μαθηματικές προτάσεις, οι οποίες χρησιμοποιώντας τους κανόνες του συστήματος δεν μπορεί να αποδειχθεί ότι είναι είτε αληθείς είτε ψευδείς.

Θα πρέπει ίσως πάντα να θυμόμαστε ότι οι μη ευκλείδειες γεωμετρίες έδειξαν πως το πέμπτο αξίωμα του Ευκλείδη ήταν λογικά ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα και η ανάπτυξή τους έγινε χωρίς κανείς να έχει σκεφθεί ότι μια από αυτές εφαρμόζεται στον αληθινό κόσμο, όπως επέβαλε η γενική σχετικότητα.

Ολες αυτές οι εξελίξεις θέτουν σε νέα βάση το πρόβλημα του αν η φυσική γνώση εξαρτάται από τη μαθηματική γνώση, όπως φάνηκε να πίστεψαν οι φορμαλιστές των μαθηματικών, ή αν αντίθετα η μαθηματική γνώση εξαρτάται από τη φυσική γνώση. Τα τελευταία χρόνια τα όρια μεταξύ φυσικής και μαθηματικών έχουν καταστεί δυσδιάκριτα, όπως ιδίως φαίνεται σε όσους ασχολούνται με τις πιο προχωρημένες έρευνες της βασικής φυσικής (π.χ. θεωρίες χορδών). Η συμβίωση φυσικής και μαθηματικών, ανέκαθεν ένα θαύμα αφ' εαυτού στη δομή της επιστήμης, επανατοποθετεί το ζήτημα της ανεξαρτησίας ή, ακριβέστερα, της αλληλεξάρτησης των δύο μερών. Είναι γεγονός ότι τα μαθηματικά δεν αποτελούν μόνο γλώσσα αλλά και τρόπο σκέψης. Αλλά μολονότι ο τρόπος σκέψης των μαθηματικών μπορεί να είναι χρήσιμος αρκετές φορές στη φυσική και ο τρόπος σκέψης της φυσικής στα μαθηματικά, οι δύο δεν ταυτίζονται. Η σχέση με τον πραγματικό κόσμο αποτελεί πρόβλημα της φυσικής και όχι των μαθηματικών. Ολα αυτά καλό είναι να τα έχει κυρίως υπόψη της η νέα γενιά. 

 

ΖΗΝΩΝ  ΠΑΠΑΖΑΧΟΣ